Dérivées de somme de fonctions Les exercices suivants proposent de déterminer les variations de sommes ou différences de fonctions usuelles. Il faudra ici calculer sa dérivée $f'$ et étudier son signe. Ces exercices font appel aux règles de dérivation suivantes :

$$ \begin{array}{ccc} (u+v)'&=& u'+v' \\ (ku)'&=& ku' \\ \end{array} $$

où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables et $k$ est un nombre réel.
Polynômes Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction affine :
$f(x) = $ $x$ +

Indice 1

 $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$

Indice 2

 $u=x$ donc $u'=1$. La dérivée d'une constante est nulle.
Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction polynôme définie par :
$f(x) = $ $x^2$ + $x$ +

Indice 1

 $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$

Indice 2

 $u=x$ donc $u'=1$. La dérivée d'une constante est nulle.

Indice 3

 La dérivée de $x^2$ est la fonction linéraire d'expression $2x$
L'exercice suivant nécessite d'avoir abordé le discriminant $\Delta$ dans le chapitre sur le second degré. Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction polynôme définie par :
$f(x) = $ $x^3$ + $x^2$ + $x$ +

Difficulté :

Indice 1

 La dérivée est un polynôme du second degré

Indice 2

 Calculer le discriminant pour obtenir les racines de la dérivée

Indice 3

 Le signe du coefficient de $x^2$ détermine le signe de la dérivée
Somme avec une autre fonction Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x) = $ $x$ + + $x$

Indice 1

 Dériver puis mettre au même dénominateur $x^2$

Indice 2

 Etudier le signe du numérateur qui est un polynôme du second degré

Indice 3

 Le dénominateur est positif, mais s'annule en $0$
Calculer la dérivée et en déduire la variation de la fonction définie par :
$f(x) = $ $x$ + + $\sqrt{x}$

Indice 1

 Dériver puis mettre au même dénominateur $2\sqrt{x}$

Indice 2

 Etudier le signe du numérateur par une inégalité. La fonction carré est croissante sur $\mathbb{R}^+$

Indice 3

 Le dénominateur est positif, mais n'est défini que sur $[0;-\\infinity[$

Indice 4

 $0$ n'est pas interdite pour $f$ mais l'est pour $f'$